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Une récompense d’un million de dollars pour résoudre au moins l’un de ces 6 problèmes

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L'institut Clay de Mathématiques est une organisation privée qui, en l'an 2000 a formulé les plus importants problèmes du XXème siècle, dont la résolution donne droit à une récompense d'un million de dollars. 17 ans plus tard, les meilleurs mathématiciens du monde n'ont été capables de tester qu'une seule hypothèse.

Chez Sympa-sympa.com, nous avons décidé de tester nos propres aptitudes sur tous ceux qui restent irrésolus. Qui sait, parmi nos lecteurs se trouve peut-être le prochain Einstein ?

Les équations du type xn + yn + zn + ... = tn sont connues depuis bien longtemps. Pourtant, il n'en existe aucune méthode de calcul universelle. On sait seulement que chaque équation peut avoir un nombre fini ou infini de solutions rationnelles. Birch et Swinnerton-Dyer ont mis au point une méthode dans laquelle chaque équation peut être réduite à une autre plus simple, appelée la fonction zeta. Si la valeur au point 1 de la fonction zeta est égale à 0, il y a un nombre infini de solutions, et vice et versa. Jusqu'à ce jour personne n'a confirmé ni infirmé cette hypothèse.

Stephen Cook a formulé la question de la façon suivante : la vérification de la solution du problème peut-elle être plus longue que la recherche même de la solution, indépendamment de l'algorythme de vérification ? Jusqu'à ce jour, personne n'a réussi à la résoudre. Sa solution pourrait donner lieu à toute une révolution des systèmes de cryptographie et de chiffrement.

Pour étudier un objet, les mathématiciens commencent par essayer de le diviser en "blocs de construction". Mais cela ne fonctionne pas toujours : parfois, de nouvelles pièces apparaissent, ou bien les composants originels disparaissent. Dans ses travaux, Hodge a décrit les conditions dans lesquelles ces pièces additionnelles n'apparaissent pas et où n'importe quel objet peut être étudié comme une équation algébrique. On n'a pas encore réussi à confirmer ou infirmer son hypothèse, et ce depuis plus de 70 ans.

Lorsqu'un bateau navigue, il provoque des vagues, et lorsqu'un avion vole, il provoque des turbulences dans l'air. On suppose que ces phénomènes, ainsi que d'autres, sont décrits par les équations de Navier-Stokes. Même si elles ont été mises au point en 1822 déjà, personne ne sait comment les résoudre. En même temps, elles sont très utilisées pour la construction des avions, des voitures et des bateaux. Si quelqu'un trouvait une méthode de résolution de ces équations, alors les tests aérodynamiques deviendraient inutiles.

On ne sait pas encore exactement comment les nombres premiers sont distribués. Dès 1850, Bernhard Riemann a formulé sa méthode pour les trouver et les vérifier. Elle a été appliquée avec succès à plus de 1,5 milliards de nombres premiers, mais l'hypothèse elle-même n'a toujours pas été démontrée.

Les physiciens formulaient déjà des équations quantiques en 1954. Ils ont trouvé une façon de réunir les théories des interactions faibles, fortes et électromagnétiques. À l'aide de la théorie de Yang-Mills, on a même pu prédire les découvertes de nouvelles particules. Toutefois, jusqu'à ce jour, personne n'est capable de prédire le poids correct des particules ni de comprendre comment fonctionnent ces équations et si elles sont réellement justes.

Based on materials from claymath.org
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